1.) Doubt
もともとこの”Doubt”という単語には「疑い/疑念」などという意味があります。これと「持つ」という英単語"have"を組み合わせると「(何かに対して)疑いを持つ」"to have a doubt"という文章を作る事ができます。
2.) Suspicion
上記の"Doubt"と同じ様に"Suspicion"にも「疑惑/容疑」という意味があります。
*ですので質問にありました「そう思っていたんだけど、疑いを持ち始めました。」という文章は上記の表現を使って、"I was thinking that way, but I start to have a suspicion (doubt) about it."などと表現できます。