疑いを持ち始めるって英語でなんて言うの？

1.) Doubt
もともとこの”Doubt”という単語には「疑い/疑念」などという意味があります。これと「持つ」という英単語"have"を組み合わせると「（何かに対して）疑いを持つ」"to have a doubt"という文章を作る事ができます。

2.) Suspicion
上記の"Doubt"と同じ様に"Suspicion"にも「疑惑/容疑」という意味があります。

*ですので質問にありました「そう思っていたんだけど、疑いを持ち始めました。」という文章は上記の表現を使って、"I was thinking that way, but I start to have a suspicion (doubt) about it."などと表現できます。

色々な英語の言葉と同じように、使い方によって「question」の意味が変わる可能性はあります。例えば、疑いを持ち始める場合なら「question」は「情報を確認するために実際に誰かに聞いてい見る」と言う意味ではなく、「自分の意見・思ったことを疑う」と言う意味です。つまり、「疑いを持っているから考え直すようになるかも」という感じです。