house-sitting は「ベビーシッター」のような感じで「留守番」です。よその人の家の「留守番」をする人のことを house-sitter と言います。
例
My family is going to Disneyland, but I'm house-sitting today.
家族は今日ディズニーランドに行っていますが、私は家で留守番です。
一人だけ（自分の）[家](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52069/)に残る場合は stay at home（家に残る）と言うのが一般的ですね。
例
My family is going to Disneyland, but I'm staying at home.
家族は今日ディズニーランドに行っていますが、私は家で留守番です。
「お留守番」っていう英語はないと思います。
なので、「行けなくて、[家](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52069/)にいないといけない」とシンプルに言うのが一番かなと思います。
「家族が[旅行に出かける](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/56726/)のに、体調の悪い私は家でお留守番。」
My family is going for a trip but I can't go. I have to stay at home
because I got sick.
皆さんが書いたように、体調が悪いため家にいなければいかないという状況ですと、I have to stay at home because I'm not feeling well が一番近いと思います。
しかし渡辺さんが書いたようにベビーシッターのような意味の"house-sitting"もあります。これは他の家族などがどこかに行ったけど誰も家にいないのがよくないので、家でお留守番しなければいけない時に使います。こういう時は"I'm house-sitting"でも"I have to watch the house"でも言えます。"watch"はベビーシッターと同じ感じで、下の兄弟の面倒をみる時に使う"watch my younger siblings"と同じように"watch the house"と言います。
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