（紙に）記入するって英語でなんて言うの？

「記入する」は「fill out」で表せます。

「fill out」は「〔書類の空所に〕書き入れる、記入する」という意味です。

【例】

Please fill out this form.
→こちらの用紙に記入してください。

Could you fill out this form please?
→こちらの用紙に記入していただけますか。

How do I fill out this form?
→この用紙はどう記入すれば良いですか。

ご質問ありがとうございました。

記入するということは英語では"to fill in"または"to fill out"といいます。

例えば
"Please, fill in the document."
「資料に記入してください」といいます。

参考になれば幸いです。

「記入する」は英語で to fill / to fill in を使うといいと思います。
用紙は form と言います。投票用紙はballot と言います。
パソコンなどに情報を入力する場合は to fill / to enter を使うこともできます。

以下に、例文を挙げておきます。参考にしてみてください。
Please fill in your information on the ballot.
投票用紙に必要事項を記入してください

Have you filed this form yet?
この用紙への記入は済んでますか

She entered all of the information into the computer software.
彼女はそのコンピューターソフトに全ての情報を記入した