「滞在の延長できますか?」は英語では can I extend my stay? ですが、これはかしこまった言い方です。
例えば、空港の税関や政府関係の人に尋ねる場合にはこういう言い方はしますが、ホームスティ先の方に尋ねる場合はこちらの言い方の方が自然でしょう。
❶ I’ve extended my stay for 6 more months, is it possible you can let me stay here until then?
(滞在をあと6ヶ月延長したので、それまでここにいることって可能ですか?)
❷ I’ve extended my stay for 6 more months so I was hoping you could let me stay here until then. Do you think it’s possible?
(滞在をあと6ヶ月延長したので、それまでここに居れたら良いんですが、可能でしょうか?)
〜と言えますよ。