I hope there will be more and more days when you can smile.
「more ～」は「今より多く」という意味ですが、「more and more ～」だと、だんだん多くなる」という意味です。
「～ように」を「I hope ～」にしたんですが、この表現を祈りでも使えるでしょう。その場合では「I pray that ～」になります。そういうと、結構真面目な雰囲気になります！
この場合では、「wish」より「hope」がいいです。どうしてかというと、「with」を使うなら、そうならないと思っています。「I wish your happy days would (willではなく) increase」というなら、「絶対に増えないよね」と思いながら言っているという感じがします。
逆に「I hope Doraemon comes and takes me to the future」（ドラえもんが来て、私を未来まで連れていくように）と言ったら、冗談か、ドラえもんなんか本当にいると思っている感じがします。
アメリカ合衆国 
