風呂敷を広げるって英語でなんて言うの？

「brag (動詞)」が使いやすいかなと思います。
「自慢する」という意味です。

【例】

He doesn't brag about it.
〔kmir.com-Jun 1, 2018〕

She's always bragging about me.
〔Huffington Post-Sep 15, 2011〕

回答は一例ですので、参考程度にしていただければ。

ありがとうございました