てりやきバーガーって英語でなんて言うの？

with：「〜と一緒になった」という言い方で"with Teriyaki"で十分伝わります！
teriyaki flavored：こちらはどちらかというと照り焼き味に風味付けされたというような言い方です

Teriyakiをより詳しく説明する場合には”sweetened soy sauce”で説明してみてください。

「てりやきソース」はアメリカでは結構通じます。
「チキンてりやき」などは結構定番メニューで、
ちょっと日本食が恋しくなって血迷って頼んで、その甘さに後悔しました。
そもそも日本で「チキンてりやき」なんて頼んだことないよなーと思い出してみたり。。。

Teriyakiはonsen、sushi、samurai、geishaなどと同じで英語でもそのまま使ってしまう程人気な言葉です。

あえて照り焼きのたれを説明するのであればsweetened soy sauceと、砂糖の加えられた醤油だと伝えましょう。

てりやきソースは海外でも有名なので殆どの外人さんに通じると思います。

説明と言う事なのでテリヤキソースと一緒のバーガーと言えば大体は通じますがもしもテリヤキソースが分からない場合はEmiさんが仰ったようにSweetened soy sauce等と言えば大丈夫だと思います。

teriyaki burgerとそのままで良いですm(__)m

いくつか食べ物の名前を列挙しますね。
egg「卵」
vegetable「野菜」
salad「サラダ」
French fries「フライドポテト」
stew 「シチュー」
beef「牛肉」
chicken「鶏肉」
pork「豚肉」
soup「スープ」
curry「カレー」
burger「ハンバーガー」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)