I break out in a sweat just going into the restaurant.
Just entering the restaurant makes me sweat profusely.
I get soaked with sweat from just setting foot in an Indian curry restaurant.
「sweat」は名詞でも動詞でも使えます。なので、動詞として「get sweat」ではなく、「sweat」だけでいいです。でも「get sweaty」（汗びっしょりになる）は可能です。
「break out」= 吹き出る 「in a sweat」: sweatを数えられる名詞として使うと、「汗をかいている状態」という意味です。
汗ビッショリ = sweat profusely, get soaked with sweat, sweat like crazy
set foot in = ～に足を踏み入れる
アメリカ合衆国 
