「お互いに頑張ろう」というのは Let's fight/work together で表現できます。
「試合をする時」によくスポーツ選手が言うことになりますね。
例文 If we work together, we can win.
「お互いに頑張ったら、勝つことができるよ。」
参考になれば幸いです。
例文１は「素晴らしい試合にしよう！」というニュアンスです。
例文２は「一生懸命頑張ろう！」や「思いっきりやろう！」というニュアンスです。
どちらも Let's ということで「お互いに」というニュアンスが含まれます。
ちょっとジョークっぽく
Let's play hard and may the best man win!
などという言い方もあります。
May the best man win は直訳すると「一番の優れた奴が勝つように！」となりますが、「健闘を祈る！」という言い方です。
ご参考になれば幸いです！
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