How are we going to spend the remainder of our time?
これからどうやって時間を過ごすかなので、do ではなく be going to を使います。
spend doing は同じような意味の動詞なのでこの使い方は正しくありません。
How are we going to spend the rest of the time?
が正しい言い方になります。
例文１「残りの時間、何して過ごす？」というニュアンスです。
the rest of the time で「残りの時間」
例文２「残りの時間をどうやって過ごす？」というニュアンスです。
the remainder of our time で「私たちの時間の残り」＝「残りの時間」
ご参考になれば幸いです！
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