1.I'll keep on trying.
これからも[頑張ります](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/298/)。
keep on は「～し続ける」「[繰り返し](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36770/)～する」
という意味を表します。
I’ll keep on trying で、
努力をし続けることを表しますので、
「引き続き頑張ります」という
意味になります。
I'll keep getting better.
今後もさらに努力します
keep~ingはも「～し続ける」という意味ですので、
keep getting betterで、「さらに努力する」、
「引き続き頑張る」という意味を表すことが
出来ます。
例：
Thank you so much for your support. I'll keep trying my best.
応援本当にありがとうございます。引き続き頑張ります。
参考になれば幸いです。
「I will do my best to keep up the good work」の方はすこしもっと[謙虚](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40225/)だと思うけど、たかさんの例文は適切です。
ほかのいい表現は以下です。
I will...
...continue working hard
...keep doing my best.
... continue trying my utmost. (Utmostの意味はbestより強いです。)
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
I'll keep doing my best.
引き続き頑張ります。
I will continue to strive to ...
〜の努力を続けます。
strive は「努力する」というニュアンスの英語表現です。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
