早くやるって約束したよねって英語でなんて言うの？

「すぐやるって約束したよね？」は
You promised you would do it right away. です。

You promised you would clean your room right away.
(早く部屋を掃除するって約束したよね)。

もし
「テレビを見たいなら、お風呂、夜ご飯、歯磨き全てするという約束、取引だったよね。だらだらしない！サッサッとする！」を英語で言う場合は:
Our deal was that you can only watch tv after you take your bath, eat dinner and brush your teeth. Don’t be lazy! Do it now!

この場合はpromiseではなくdeal(取り引き)の方が自然だと思います。