ひとりでどんどん奥に行っちゃうって英語でなんて言うの？

She leaves me(us) behind and goes away by herself.
【訳】彼女は私（たち）を置いて、1人で離れて行ってしまう。

「奥へ」というより「自分のいるところから離れていく」という表現の方が合うかなと思いました。

She wanders around so much.
【訳】彼女はとても動き回る。

日本語で書くと意味が離れてしまったように感じますが、wander around は「徘徊する」「うろちょろする」「落ち着きなく動き回る」という意味で、子供に対してもよく Stop wandering around!＝「うろちょろするのをやめなさい！」と使うため、馴染みのある表現です。

ちなみに「怖いもの知らず」はそのままfearlessとも訳せますし、adventurous「冒険好き（危険を恐れない」」とも言えます。

この場合の どんどん は further and further です。
かなり遠い距離を指します。

keeps going は 進みつづけて止まらない状態。

最後の表現 "She keeps going out of my sight" は
どちらかと言うと目線からすぐ離れてしまうとの表現です。

① Three year olds are so single minded, they just keep running without stop.　
「三歳児は単純なので止まることなく進んでいっちゃう」　

※single minded 一つのことに夢中で、単純で　
※without stop 止まることなく

② Children, once they get going, just keep going at full speed.
「子どもは進み始めると、全力で進んでいっちゃう」　

※keep going 進み続ける　
※full speed 全速力で