歓楽街って英語でなんて言うの？

その土地その土地で、呼び名は変わることも多いですが、一般的には an entertainment district が用いられます。

「歌舞伎町は、日本最大級の歓楽街だ。」Kabuki-Cho is the biggest entertainment district in Japan.

「ここは田舎だから、歓楽街がない。」There is (We have) no entertainment district here since it is a country side (rural area).

entertainment = エンターテイメント
district = 地区、区域

夜のネオン街は、red-light district とも言いますよ（＾＾）

歓楽街はどの国でもどの大きい都市にもあると思いますが、これは英語で「①　Red light district.」と言います。

それでも、歓楽街には色んなレベルがあります（国の法律によって）。

歌舞伎町は比較的にライトな歓楽街というイメージを私は持っています。

オランダ・アムセウテルダムのが世界的に有名です。あれは本当に「①　Red light district.」ですが、果たして歌舞伎町は真の「①　Red light district.」と言えるかは分かりません。

ジュリアン

Red-light districtは英語だと主に性風俗・売春宿のようなエリアを指します。
「歌舞伎町」のイメージとぴったり合わないんですけど、他の繁華街エリアに比べると性産業（sex industry) のお店が特徴的に多い印象があるので、red-light districtとしました。

歌舞伎町にはもっといろんなタイプのお店や施設（居酒屋・映画館など）があるので
２番目の回答のようなのでもいいと思います。

アメリカにはいわゆるキャバクラやラウンジといったものは私が知るかぎりないです。
もしもあったといても、日本のような認知度は皆無だと思います。