livingは確かに「生きている」のに使われることもあるのですが、どちらかというと「生活している」「住んでいる」という意味で使われることが多いです。
Fish is living in water.
【訳】魚は水の中で生きている（生息している）
I am living in Tokyo.
【訳】私は東京に住んでいます。
What do you do for a living?
【訳】生活のために何をしていますか？（つまり、何で生計を立てていますか）
「生きている」は alive の方になります。
I’m so glad I’m still alive!!
【訳】私、まだ生きている！とても嬉しい！
We need to keep him alive as long as possible.
【訳】できるだけ長く彼を生かし続ける必要がある。
日本 
