直訳すれば、
Be healthy both mentally and physically.
となります。動詞をstayに変えると、そのままであり続けなさいというニュアンスになります。
mentally = 精神的に
physically = 肉体的に、体力的に
Be healthy in mind body and spirit.
とすると、「頭脳（mind）」「[身体](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/65811/)（body）」「心（spirit）」において[健康](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32942/)であれという意味になります。
最後に、英語のことわざに
A sound mind in a sound body.
というのがあるようです。「健康な身体に健全な精神を」という意味で、soundはここでは「健全な」という意味です。
スローガンに使うのであれば、例えば、"Have a sound mind in a sound body."のように言えばよいかも知れません。
The new “Strong,” a healthy mind, body and spirit.
質問ありがとうございます。
こういうのはどうでしょうか？
❶ Be healthy in mind, body and spirit.
(心身ともに[健康](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32942/)であれ)。
❷ Stay healthy in mind, body and spirit.
(心身ともに健康で居続けること)。
❸ The new “Strong,” a healthy mind, body and spirit.
(新しい「[強さ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/35197/)」、健康的な心身)。
*mind は 頭
*body は 体、身体
*spirit は 心、魂
響きもカッコいいと思います！参加になれば嬉しいです！
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