誕生日に買ってもらった、バッグが大活躍している。って英語でなんて言うの？

The handbag you got for my birthday has become my “everyday bag”.
(あなたが誕生日に買ってくれたバッグが大活用している)。
ここでは、バッグが 「everyday bag になってるよ」つまり、毎日使うぐらい大活用しているよ、と訳せます。

例えば:
At our dinner table, soy sauce is an “everyday condiment.”
(我が家では、醤油は毎日活用しているもの)。

“Must have” は「欠かせない」という意味です。
Must have item は 「欠かせない物」という意味です。
例えば;
At our dinner table, soy sauce is a “must have.”
(我が家では醤油は欠かせない)。

This summer, the fan was a “must have item” because it was blazing hot.
(今年の夏は死ぬほど暑かったので、扇風機は欠かせない物だった。

〜と言えます。