ビジネスメールで「あなたが新しい取引を獲得することを期待しています」って英語でなんて言うの？

「チアアップしたい」と書いてたので、上記の２番目を含みました。「I'm sure that...」というのは、「きっとできるでしょう」みたいな奨励するフレーズです。

この日本語だといろいろと使える表現はあると思います。
「獲得できるといいね」ぐらいの軽い感じなら、hopeという動詞か、文頭にhopefullyを使うといいと思います。これだとプレッシャーは与えずに済みますが、チアアップしたいということであれば、君なら獲得できるよ、という意味をこめ、look forward toで「楽しみにしてる」ぐらいがちょうどいいかと思います。