ラケットのガットが切れたので張り替えて下さいって英語でなんて言うの？

「張り替える」はいくつかの意味がありますが、簡単にいうと「替える」と同じ意味になりますので、この場合「replace」を使えば問題なく通じます。

あと、「ガットが切れた」は"cut"という動詞がまず浮かびますね。この場合はどうやって切れたのかという原因を気にすることなくシンプルな英語でお願いしたいと思うので、「ただ壊れている」と伝えるといいと思います。"broken"がベストです。

string は名詞で使えば「糸・ヒモ」です。
が、動詞で使うと「糸を張る」という意味になります。
そこにre-をつけてあげれば「〜し直す」という意味になりますので、上記のように表現してあげればいいでしょう。

日本語の「ガット」という表現は注意が必要です。
gut(s)は広く「内臓」という意味で使います。なので話す人と場所によってガットだけでは相手の頭の上に？？と浮かぶ可能性があります。gut stringと言ってあげれば大丈夫でしょう。

蛇足ですが、I have a gut feeling. 「何か嫌な予感がする（虫の知らせがする）」という表現になります。

参考にしてください。

1) Could you please change the strings on this racquet?
「ラケットのガットを張り替えてもらえませんか？」
ラケットのガットは strings と言えます。

人に何かをお願いするときは、
Could you please の他に、Could I ask you to change the strings on this racquet? とも言えます。

ご参考になれば幸いです！