質問者様の英語で正しいです！
Designated（指定） でも dedicated（専用） でもどちらでも良いです。
僕の提案は、どちらも使わず、「There is no parking lot here」と言う事です。
特に理由は無いですが、指定も専用も駐車場はないと相手に伝えることができます。
話している相手に代替案を提案するなら、「There's a space across the street」（道の向こう側に駐車スペースがあります）。
"dedicated" はある特定の目的のために特化されたという意味で、「専用の」と訳されます。ですから、「Our center does not have a dedicated parking lot.」は「当センターには専用の駐車場はありません」という意味になります。
"designated parking lot" という表現も可能で、「指定された駐車場」という意味になります。
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