当センターの専用の駐車場はありませんって英語でなんて言うの？

質問者様の英語で正しいです！ Designated（指定） でも dedicated（専用） でもどちらでも良いです。 僕の提案は、どちらも使わず、「There is no parking lot here」と言う事です。 特に理由は無いですが、指定も専用も駐車場はないと相手に伝えることができます。 話している相手に代替案を提案するなら、「There's a space across the street」（道の向こう側に駐車スペースがあります）。