ただあなたに、手紙を書きたかっただけなのって英語でなんて言うの？

1, I just wanted to write you a letter.

2, I’m a big fan of yours and just wanted to
write you a letter telling you what a wonderful singer you are.

Just wanted to ただ〜したかったという意味になります。
2は、質問者様の文章から少し補足して書かせて頂きました。
私はあなたのファンなので、あなたがどんなに素晴らしい歌手であるか手紙で伝えたかった。という内容になります。

他の方もおっしゃっていましたが、もしかしたら現在ファンレターは珍しいものかもしれません。なので、少し補足をいれるとより伝わりやすくなるかと思います。

ご参考になれば幸いです。

他のアンカーの言った通り、"I just wanted to write you a letter." がベストな答えです。「ただあなたに手紙を書きたかっただけです」と言う意味です。
なお、勘違いされたようなので「誤解しないでください」、「誤解がありましたようなので申し訳ないです」と言いたい時は "I apologize for the misunderstanding" または "I'm sorry for the misunderstanding"です。

I just wanted to write you a letter. That's all. = 「ただあなたに手紙を書きたかったんです。それだけです。」と言う表現です。

少し勘違いされたというよりは恐らく本人の許可が必要かのような
質問に対して不思議に思ったのだと思います。
本来ならそのまま手紙送ってその時に突然の手紙ですみませんなど
というような内容が書いてるのが自然だと思っているのでしょう。
もしくはメールの時代である今は手紙は大変珍しいのかもしれません。

手書きで手紙を送りたかっただけなのと言いたい場合は
I just wanted to send you a handwritten letter などでも良いと思います。