We’re behind schedule. The client's telling us to go faster.
「納品が遅れてお客さんがまだですか？と言ってきた。」は、
"We’re behind schedule. The client's telling us to go faster."
「納期が遅れていて、お客さんが急いでくれと言っている。」
と言うことが出来ます。
"behind schedule"は、「期日に間に合っていない」と言う時に使います。
また、社員に対して「早く終わらせよう」と言う場合は、
"We should/ need to speed up."
"We should/ need to finish up soon."
"We should/ need to have it finished by today." (今日中に）
"We should/ need to get moving."
などがあります。
ご参考になれば幸いです。
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