I came to be able to do what I thought I was never going to make it.
シンプルなのは、
Now I can do what I couldn't do.
（できなかったことが今ではできるよ）
でしょう。nowを文頭に持ってくることで、今の状況を強調しています。
I came to be able to do what I thought I was never going to make it.
（絶対無理だと思い込んでいたことができるようになった）
こちらは少し複雑ですね。
come to V：～するようになる
日本語の発想からbecomeを使いたくなりますが、英語ではcome to Vです。
make it：可能にする、やってのける、など
とても広い意味で使われる口語表現です。"You can make it!"（大丈夫、できるよ）などの言い方をよく耳にします。
参考になれば幸いです。
I was thinking of giving up, but I practiced a lot and now I can do it.
１）「didn't think I could」 できないと思っていた
「became able to can now」できるようになった
２）「I was thinking of giving up」諦めると思っていた
「I practiced a lot」たくさん練習した
「do it」は出来るようになったことです。もしテニスでしたら
1)「I didn't think I could play tennis, but I can now.」
2)「I was thinking of giving up, but I practiced a lot and now I can play tennis. 」
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