Exaggerate＝大げさに言う、[誇張する。](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/90537/)
Overstate=大げさに[話す](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33800/)。
例
He always exaggerates when he talks.
彼は喋るときは何時も大げさにする。
Stop exaggerating.
大げさに言うのはやめてよ。
He tends to overstate things.
彼は物事を大げさに話す傾向がある。
[誇張する](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/90537/)、という意味で、"stretch the truth"という言い方があります。[真実](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34018/)を引き延ばす、つまり大げさに言う、ということです。
Nothing's happening, but he talks like there are big news.
「大袈裟」と言えば、Nomuraさんのおっしゃるように
exaggerate が僕もすぐに頭に浮かびます。
しかし、そういった単語を使わずに表現してみました。
Nothing's happening, but he talks like there are big news.
何も起こっていないんだけど、彼は大ニュースかのように話す。
いかがでしょうか？
日本 
