do someone's dirty work は、（人）に代わって汚れ役をする、割に合わない仕事をする という意味の表現で、「損な役回り」に通じると思います。
この表現は、不正なことをする場合にも使いますが、いやだけれど必要なことをする場合にも使われます。
そこで、今回の例ならば、会社のために損な役回りをするので、
I must do the company's dirty work, causing resentment among the employees.
あるいは前半は、
I must do the dirty work for the company
としてもいいでしょう。
後半は、その対象となる従業員から恨まれる（= cause resentment）と言っています。
I am assigned to a unfavorable position where people will hate me for what I do.
It is hard to be in a position where you have to pass down bad news . But someone has to do the job and I was chosen.
1番目は「わたしが任された仕事は立場上人に恨まれます。」
assigned to ～に配属された
unfavorable 好まれざる
position 立場
people will hate 人に恨まれる（嫌われる）
for what I do わたしがやる仕事は
２番目は「上から下された決定を伝える立場はきついです。しかし、誰かがやらなければならないのであり、今回私が任命されました。
hard to be in～ ～の中にいるのは大変
position 立場
pass down 下へ下ろす この場合は上からの命令を伝える
お役に立てたら嬉しいです。よろしくお願いします。
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