"彼は/彼女は[快く了承してくれた](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/78597/)" という意味です
快く: pleasantly / gladly.
了承する：to accept / to agree (この場合，[同意](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/54064/)の意味を伝わる時だけの訳出です.
理解や認めの意味を伝わるときは： 了承する＝to acknowledge.
例
He has gladly agreed to take our photo.
彼は私たちの写真を撮ることを快く了承してくれた。
いくつか異なる表現を挙げてみました。
それぞれを使った例文を見てみましょう。
【回答１】I asked him to take a picture (of me). He nicely agreed and helped me.
（私の）[写真を撮って](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52362/)くれるよう彼に頼んだ。彼は親切に[同意して](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/64176/)助けてくれた。
【回答２】I asked him to take a picture (of me). He nicely accepted and took several for me.
（私の）写真を撮ってくれるよう彼に頼んだ。彼は親切に承諾して何枚か私のために撮ってくれた。
【回答３】I asked him to take a picture (of me). He nicely said OK.
（私の）写真を撮ってくれるよう彼に頼んだ。彼はＯＫと言った（言って承諾した）。
というわけで、上記のようにご質問の文章を表現してみましたが、agreeやacceptは、もう少し重要なことをお願いするときに使うことの方が多いかと思うので、こうした小さなお願いでしたら、わざわざ「了承・承諾した」という固い表現を使わないで言うこともできると思いますよ。
例えば、
"When I asked, he helped me to take pictures no problem."
「私が頼んだら、彼は何の問題もなく、写真撮影を手伝ってくれた。」
いかがでしょうか。
ご参考になれば幸いです！
写真を撮ってもらえませんか？とたずねると。相手は快く了承してくれた
I asked him to take a picture, and he agreed *相手は男の人の場合
ネイティブは大体pleasantlyやnicelyをつけません。politelyはまあまあ大丈夫です。「agreed」にそういうニュアンスがもう入っていると思います。（相手はしてあげたくなさそうなのに）了承してくれたということだったら、begrudgingly agreedと言います。
ご参考になれば幸いです。
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