Did you handle the shipment on a first-come, first-served basis?
first-come, first served は「先着順」。
「早い者勝ち」という場合にも使います。
この(先着順という)ルールに基いて、と言うには、
on a first-come, first-served basis
となります。
(当然、早いものが「優先」という意味になります。)
今回話題になっている対象は荷物、あるいは出荷、つまり shipment なので、
Did you handle the shipment 〜(荷物を〜扱いましたか?)
として、〜の部分に先程の on a first-come, first-served basis が入ります。