まずこういった場合の「問題」という単語は ”problem" というそのままの直訳だけではなく、”issue" という単語や、”topic" という単語などで表現することができますね。
そこで、ここでの「問題」を対象にして「切り分ける」という表現は、”break down" (崩す）、とか、”separate"（分ける）という表現の組み合わせで表現することができます。
「どこが問題かを調べるために、細かく問題を切り分けて検証しています。」は英語で;
"We're breaking down the issue into tiny parts in order to find the real cause."
【※ ”in order to" : ～するために、 ”real cause": 本当の原因、どこが問題なのか】
また二個目の例を使ってみると;
”We're trying to separate the problem into bits and pieces in order to investigate what the cause is."
などといった表現が考えられますね。
参考になればと思います。
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イギリス 
