I want to help people with mental illnesses recover and be happy.
"I want to help people with mental illnesses" は「私は精神病の人々が助けたい」という意味です。"I want to help" ということは「助けることがしたい」を指すのでこの場合、使えると思う。
そして、具体的に "people with mental illnesses" は「精神病の人々」を表す。
最後に "recover and be happy" は「回復して幸せになるように」という意味です。
I'd like to help people who suffer with mental illness to recover and gain a greater sense of happiness in their life.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI'd like to help people who suffer with mental illness to recover and gain a greater sense of happiness in their life.
「精神的に病んでいる人が回復し、人生で幸せを感じることができる手助けをしたい」
people who suffer with mental illness で「精神疾患・心の病で病んでいる人たち」と言えます。
ご参考まで!