スピーカーでアナウンスを可能にするシステムはPAシステムと呼びます（Public Address System）。
よって、「You should announce it on the PA system」が良いかと思います。
質問者様の例ですと、「They should announce people to take home their own rubbish on the PA system」となります。
まぁ、もっともハロウィンの捻じ曲がった文化をそのまま輸入してしまったからこういうことになるんですけどね。本来は、子供達がお菓子を貰えるはずのイベントが、道義無い大人が酔いつぶれる機会になってしまい、残念です。
They should make a public announcement to remind people to take their garbage home.
We should make an announcement over the loudspeaker asking everyone to bring their garbage home.
もし渋谷区に対してアナウンスを流すべきだと言うなら、主語は they が使えます。
質問者さんが渋谷区民で、渋谷区民として私たちはアナウンスを流すべきだと言うなら we も使えます。
1) They should make a public announcement to remind people to take their garbage home.
「ゴミを持ち帰るようアナウンスを流すべきだ。」
public announcement で「町内放送」「館内放送」「構内放送」など公共の場でのアナウンスのことを言います。
2) They should make an announcement over the loudspeaker asking everyone to bring their garbage home.
「みんなにゴミを持ち帰ってもらうよう拡声器でアナウンスするべきだ。」
make an announcement over the loudspeaker で「拡声器でアナウンスする」
ご参考になれば幸いです！
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