質問者様の英語で間違いありません。素晴らしいです。
唯一言うとしたら、「moving rubble」よりも「clearing rubble」の方が自然に聞こえます。
「"ボランティアに参加して様々な活動を行った」だけを訳すと「I did many things while volunteering」
Things の代わりに 「activities」を使っても良いと思います。
「ボランティアに参加して様々な活動を行った」の翻訳します。英語に翻訳すれば、"I did various activities when I volunteered" になります。これは言いたいことは少し違うかもしれませんですが、「ボランティアにしたとき、様々な活動を行った」を表します。
ちなみに、自分の書いた英文おしいです。でも、その英文と言ったら、通じられると思います。少しだけ直します、"I went to Kumamoto to volunteer and help the local people with various kinds of activities, such as moving rubble or cooking dishes." です。二つ文章じゃなくて一つだけになりました。あと、"helped" は "help"になりました。
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