I can't readily sign up with this teacher because he/she is popular.
1.) I can't readily sign up with this teacher because he/she is so popular. (人気の先生なのでなかなか予約がとれない) 「なかなか予約がとれない」は英語でI can't readily sign upという表現になります。「なかなか」は英語でreadilyと訳せばいいです。「人気の先生なので」は英語でbecause he/she is so popularとやくしました。英語でbecauseがある文は二つ部分に分けます。それはbecauseの前とbecauseの後です。両方部分は誰に対して話しているのが必要です。それでbecauseの前はwith this teacher(この先生と)に訳しました。Becauseの後の部分はteacherの代わりにheかsheは主語になります。
This teacher is so popular that I can't book a lesson with him/her.
I can't manage to book a class with this teacher because (he's/she's) so popular
人気の先生 = popular teacher
ので = because, so
なかなかとれない = I can't seem to... / I can't manage to... / I'm just unable to...
予約 = reservation / appointment
このシチュエーションで「なかなか予約がとれない」は英訳できないと思います。
「To book a lesson/class」 の方が最も自然です。