Get the short end of the stick. は直訳すると「棒の短い方を掴んだ」です。短いということで不利になる事を表しています。
誰が損な役回りするのかを決めるときに 木の棒を持ってきっていっせーので折ります。長い切れ端の持ち主の勝ち、なんて決めることがあるのが由来でしょうね。
参考にしてください
英語ではこのような場合に"I drew the short straw."と言うことができます。これは文字通りには「短い藁（わら）を引いた」という意味になりますが、グループの中で誰かが不本意な仕事や役割を引き受ける必要がある時、何本かの藁の中から一本を引いて最も短い藁を引いた人がそのタスクを担当するというゲームから来ている表現です。
関連する単語:
got the raw deal: 不当な扱いを受けた
ended up with the short end of the stick: 不利な立場になった
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