日本人には日本人(なり)の生き方があるって英語でなんて言うの？

そのまま直訳すると「Japanese people live a distinctly Japanese way of life」になります。

「distinctly」と言う単語ですが、「〜なりの」の部分に当てはまります。

この文書に加えて、例を出すのも良いかもしれませんね。
例えば：「Japanese people live a distinctly Japanese way of life. For example, we like to eat rice with miso soup and pickles」。

"Japanese people have their own special way of life"は
「日本人は自分の特別の生き方がある」という感じになります。

"special"がなくても"his/her/their/its own○○"で使えます。
他の人と違う何かのやり方があるときに使えます。
例えば、
"He has his own way of thinking"
「彼は自分の特別な考え方がある」

"This restaurant has its own way of making dumplings"
「このレストランは自分の特別の餃子の作り方がある」

色んなところで使えるので是非使ってみてください！