Japanese people live a distinctly Japanese way of life
そのまま直訳すると「Japanese people live a distinctly Japanese way of life」になります。
「distinctly」と言う単語ですが、「〜なりの」の部分に当てはまります。
この文書に加えて、例を出すのも良いかもしれませんね。
例えば：「Japanese people live a distinctly Japanese way of life. For example, we like to eat rice with miso soup and pickles」。
Japanese people have their own special way of life.
"Japanese people have their own special way of life"は
「日本人は自分の特別の生き方がある」という感じになります。
"special"がなくても"his/her/their/its own○○"で使えます。
他の人と違う何かのやり方があるときに使えます。
例えば、
"He has his own way of thinking"
「彼は自分の特別な考え方がある」
"This restaurant has its own way of making dumplings"
「このレストランは自分の特別の餃子の作り方がある」
色んなところで使えるので是非使ってみてください！
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