「申し出」は英語で「offer」と言います。
「offer」を使った例文を見てみましょう。
I regret turning down his offer to come pick me up.
迎えに来てくれるという彼の申し出を断ったことを後悔しています。
I rejected the job offer.
仕事の申し出を断った。
I wish I had accepted his offer to come pick me up.
迎えに来てくれるという彼の申し出を受ければよかったのに。
ぜひご参考にしてみてください。