今日はあなたのお母さんが頑張ってくれた日なんだよって英語でなんて言うの？

上記の英訳文はいかがでしょうか。
直訳すると、一つ目の英訳文は「今日は、あなたのお母さんが頑張った日です。」、二つ目の英訳文は「あなたのお母さんは、今日最大限の努力をしました。」となります。

なお、「私はあなたを産んでくれた両親に感謝する」は、"I appreciate your parents who brought you into the world.「あなたをこの世界に連れてきてくれた（あなたの）ご両親に感謝します。」"という風に英訳してみてはいかがでしょうか。

お役に立てれば幸いです。

• "Today is the day your mother worked hard to bring you into this world."
  直訳すると「今日はあなたのお母さんがあなたをこの世界に連れてくるために頑張ってくれた日です」です。「bring you into this world」は「あなたをこの世に連れてくる」という意味で、誕生日を祝うメッセージとして使うことができます。

役に立ちそうな単語とフレーズ:
- today: 今日
- your mother: あなたのお母さん
- worked hard: 頑張った
- bring into this world: この世に連れてくる、産む

例文:
- "Today is a special day because it's the day your mother brought you into this world."
今日は特別な日です。なぜならあなたのお母さんがあなたをこの世界に連れてきてくれた日だからです。

• "I'm grateful to your parents for bringing you into this world."
  私はあなたをこの世に連れてきてくれたご両親に感謝しています。

参考にしてください。