新幹線を利用される場合、立替払いをお願いしたいですって英語でなんて言うの？

When you use the bullet train は新幹線を使う時にはと言う意味です。

I want to ask you はお願いしたいと言う意味です。

for payment in advance は立て替え払いと言う意味です。
on behalf of me 私の代わりにという意味です。
お役に立ちましたか？^_^

「新幹線」は訳するとそのまま 'shinkansen' ということもよくあります、あるいは 'bullet train' と言います。
「利用する場合」は 'If you take'

「立替払い」の訳語は英語にないのでちょっと長い文になります。
’we ask that you buy your own ticket to be reimbursed later.’
「切符を自分で払ってください、後で精算されます。」みたいな意味になります。