遠慮しておきますって英語でなんて言うの？

I'll take a rain check. = またの機会にさせていもらいます。

"take a rain check" で「またの機会にする」という意味です。
"rain check"は、スポーツの試合などが雨で延期になった時にもらえる順延券のことです。それを見せると次回の試合に入れる。そこから"take a rain check"で、「次の機会にする」という意味になったそうです。

Unfortunately, I've already got plans. = 残念ですが、既に予定が入っています。
I've already got plans for tonight. I've already got plans for the weekend. というようにも言えます。
実際に予定が入ってなくても言い訳として使えます...。

Sorry, I can't make it.　＝「申し訳ないのですが行けません」

I'd love to go but I have to　＝「行きたいのは山々ですが、...しなくてはいけないので」

I have a previous appointment.　＝「予定が入っておりまして」

日本語と同じように、謝罪の言葉に「行けない理由」を加えたり、「行きたい気持ちはある」と言うことを相手に伝えると失礼にならず自然な会話になります。