忙しいを理由に全ての記念日をガン無視する。って英語でなんて言うの？

この文はナチュラルな英語の言い方で若干意味が違います。

「彼は忙しいを言い訳に全ての祝日と記念日を無視する」

それぞれの部分の意味をわかりましょう。
'He ignores' = 彼は無視する
'all holidays and anniversaries' = 全ての祝日と記念日
'with the excuse that he is busy' = 忙しいを言い訳にして

気がついているけどあえて無視しているという状況だと思うので、下のように言えるかと思います。

1) My boyfriend absolutely refuses to celebrate any kind of special occasion with the excuse that he is busy.
直訳すると「私の彼は、忙しいを理由にありとあらゆる記念日を祝うことを断固として拒否する。」
「ガン無視する」は absolutely refuses と強調して言うとことでちょっとジョークっぽく（皮肉っぽく）なるかと思います。
with the excuse that he is busy は 「忙しいを理由に・言い訳に」

2) I think my boyfriend purposely forgets all of our special occasions saying he is busy.
「私の彼は忙しいと言って、すべての記念日を故意に忘れていると思う。」
「ガン無視」の箇所を purposely forget 「故意に忘れる」とこちらも皮肉っぽく言えるかと思います。

ご参考になれば幸いです！