行きはトランジットで帰りは一泊するって英語でなんて言うの？

この「トランジット」は和製英語です。アメリカ人に「transit」というと、飛行機を乗り継ぐことではなく、飛んでいる飛行機を乗ることを想像するでしょう。飛行機だけではなく電車とか何の交通も含めています。 英語の辞書で「transit」を引いたら「to pass through」（通過する）という意味もありますが、英語では空港とかを通過することは「change planes/trains/buses」と言います。

"I'll have a transit in Korea on my way there, but on my way back, I'll stay overnight in Korea before returning to Japan." 「行きはトランジットで韓国に寄る」という場合、直訳として"I'll have a transit in Korea on my way there"が適切です。ここでの "transit" は乗り換えや一時停留を意味します。