I wouldn't be alive if I had an accident each time [that] there was class.
「身が持たない」はぴったりの英訳がないので今回はちょっと変わっている、おもしろい言い方を提案します。それは "I wouldn't be alive" (生きているはずがない。。)
なぜ「生きているはずがない」かと言ったら、 if I had an accident each time that there was class (授業の毎回の時に事故があったら)という理由です。
would は will の条件形です。if と一緒に will を使うなら、 would になります。 can なら、could という形の助動詞です。