通常、引き受けることは「Take on」すると言いますが、引き継ぐことですと「Take after」や「take over」を使います。
質問者様の場合ですと、「I will be taking after my colleague's work after he leaves this company, so he's filling me in on his tasks currently」がいいと思います。
「Take on」は、難しい仕事や面倒臭い仕事を引く受ける時に使う場合が多いですね。
例文：
- Even though the profits are very slim, my company decided to take on the contract
1) take on (仕事や責任などを引き受ける)
take on extra responsibilities = 超過勤務を引き受ける.
retire = 引退する
When my colleague retires, I will take on extra responsibilities.
同僚が引退したとき、私は追加の責任を引き受けます。
(extra は「追加」）
（responsibilities は「責任」）
- take over (引き継ぎをする）
I'm currently working on taking over his job.
現在、彼の仕事を引き継ぐことに取り組んでいます。
I took over his job now that he's retired.
彼が引退したので彼の仕事を引き継ぎました。
2) assume (引き受ける)
I will assume his responsibilities once he's retired.
彼が引退したら、私は彼の責任を引き受けます。
I assumed the role of mother once our mother died.
私たちの母が亡くなった後、私は母の役割を引き受けました。
１番の方がよく使うと思います。"assume"は別の意味(事実だとする当然のことと思う)もありますので、誤解がないように１番の方が安全だと思います。
お役に立てれば幸いです!
仕事を「引き受ける」は英語で 'taking over from ~' という表現をよく使います。
たとえば、例のとおり退職する同僚の仕事を引き受けることをメールで関係者に
お知らせする場合は次のように掛けます。
「５月３１日に退職する予定の田中から私が引き受けることになりました。」
'I will be taking over from Mr./Ms. Tanaka who will leave this company per May 31st.'
「来週から佐藤さんが私の仕事を引き受けます。」
'Ms. Sato will be taking over for me starting next week.'
一方、引継ぎの後なら過去形でいうと：
「田中の仕事を引き受けました。」
'I have taken over from Mr./Ms. Tanaka.'
そういうふうに使えばいいです。
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