走ってる最中は、ここに乗っかったらダメだからねって英語でなんて言うの？

Please don't come up here while the car is moving. （車が動いている時に前に来ないでください）

Stay in your seat when the car is moving. （車が動いている時は席に座っていてください）

アメリカだと、どんな道でも必ずシートベルトをする必要があって、その理由はもし事故った時にシートベルトをしていないと飛んで大怪我をしてしまう恐れがあるからです。子供は特に体が軽いので、是非シートベルトを使ってもらいたいところです。

なので本当に言ってもらいたいフレーズは
Put your seat belt on and don't lean forward. （シートベルトをして前に出ないでね）

心配性に思うかもしれないけど、何かがあってからじゃ遅いので。

自分が運転中などに注意するならば、

stay seated = 着席したままでいる
while = ～している間

Please stay seated while I am（daddy is) driving.
（(お父さんが）運転中は席に座ったままでいてね。）
ご参考までに。