お礼（御礼）って英語でなんて言うの？

お礼の印と言った感じの お礼であれば a token of thanks と
言うのも良いと思います。
感謝に近いものなら後者の appreciation も使えます。
appreciation の方が少しフォーマルな印象があります。

「お礼として何かしてあげたいと思います」
"I'd like to do something for you as a token of thanks" など

お礼として何かしてあげたいと思います
I'd like to do something to show my appreciation/gratitude/thanks.

「お礼として」がよくto show my～に翻訳されています。あの英語の表現を日本語に直接翻訳すると「お礼を見せるために」になりますが、ニュアンスがちょっと違いますね。他の言い方はto show myの代わりにinと言えます。例えば、I gave him a present in appreciation. (彼にお礼としてプレゼントをあげた。）

ご参考していただければ幸いです。

「お礼」は英語でthanksまたはa thank youと言います。この二つの表現はニュアンスが一緒ですが、a thank youの方が若干丁寧に聞こえます。よくある形がas thanks for / as a thank you for（のお礼として）になります。
上記の言葉を使った例文を見てみましょう。

Here, this is a thank you for helping me.
（はい、これが手伝ってくれたお礼です。）
I gave my host mother some Japanese souvenirs as a thank you for letting me stay at her house.
（家に泊めてくれたお礼としてホストマザーに日本のお土産をさしあげました。）

I want to pay you some money as thanks for helping me clean my house.
（家の掃除を手伝ってくれたお礼として（あなたに）お金を払いたい。）

ぜひご参考にしてみてください。

Thanks は「ありがとう」という意味ですが、「お礼」という意味もあります。

例
お礼に何かしてあげたい。
訳1 I want to do something as a thanks.
訳２I want to do something to show my thanks.

Show my thanks は「感謝の気持ちを見せる」という意味です。

「お礼を言う」は英語で say thank you for ○○ です。

例）

彼女の手伝いのためにお礼を言った
I said "thank you" to her for her help

お礼として物を上げたり、何かをやってあげたりする時に This is to say "thank you" for ○○ と言います。

例）

これはこの前の手伝いのお礼です。
This is to say "thank you" for helping me earlier

ご参考になれば幸いです。