・Entrust the handling of the account to my brother
「口座の取り扱いを兄に一任する」
・Give my brother power of attorney over the account
「兄に口座の管理権限(委任状)を与える」
entrust は「(権利や管理を)一任する・委任する」という意味の表現です。
他には:
Authorize my brother to manage the account on my behalf
「自分の代わりに兄が口座を管理できるよう委任する」
ご質問ありがとうございました。
お役に立てれば幸いです。