一番自然な表現は上の通り、to make that dream come true 「あの夢を叶えるために」です。
もっと遠回しの表現なら、次のようなのが思い浮かびます。
To realize that dream we had long ago.
「昔夢見た願いを実現させるため」。
この場合はweをつかったので、「私たちの夢」という意味になります。「私の夢」ならweの代わりにIを使います。
・To fulfill the dream I held that day
「あの日夢見た願いを叶えるために」
・To bring that long-cherished wish to life
「あの日心に抱いた願い（夢）を形にするために」
fulfill で「（夢や願いを）叶える」、wish / dream で「願い・夢」という意味になります。
他には：
In pursuit of the wish I made on that day
「あの日立てた誓い（願い）を追い求めて」
ご質問ありがとうございました。
お役に立てれば幸いです。
アメリカ合衆国 
