I went to pick up the car at the dealer after the car inspection was finished.
I went to pick up the car とは「私は車を取りに行った」という意味です。
そして、"at the dealer" とは「ディーラーに」を表します。
最後の部分、"after the car inspection was finished" を日本語にしたら、「車検を終わってから」を指します。
したがって、"I went to pick up the car at the dealer after the car inspection was finished" 「車検を終わってからディーラーに取りに行った」
"I went to the dealer to pick up my car after the inspection."
「車検が終わった車をディーラーに取りに行った」を英語で表現すると、"I went to the dealer to pick up my car after the inspection."(車検が終わった後、私の車を取りにディーラーに行きました)となります。
"I went to the dealer"(ディーラーに行きました)は移動を表しています。"to pick up my car"(私の車を取りに)は目的を示し、"after the inspection"(車検の後)はその行動がいつ行われたのかを示しています。