成長すると消える病気って英語でなんて言うの？

最初の文が「成長すると消える病気」の訳になります。ここは「illness」で病気と表現していますが他にも「sickness」や「ailment」も使えます。あと「disappears」（消える）の代わりに「is cured」で「～で治る」とも表現できます 。 次の文は「医者にこどもの喘息は成長と共になくなると言われました。こどもが大人になったら治りました/治ってました」となります。喘息は「asthma」になります。

初めのGrow out of illnessは、子供が成長して服が小さすぎになるGrow outと同じように、病気が成長するにつれて影響されなくなってくるというような意味を持ちます。Illnessは病気で、DiseaseやConditionも使うことができます。 次のGet better as you growは、成長するにつれて良くなってくる、時間の流れとともにという意味になってて、初めの文はもっと昔と今を比べるようになっています。Get betterの代わりに、Get healed, get healthy など健康になるという単語も使えます。 役に立てれば幸いです

「病気」の英語は”illness”で、「喘息」は”asthma”です。「成長とともに消える」は”disappears as you grow”ですが、disappearの代わりに治るという意味の”heals”もいいと思います。”heals/gets better with time"という言い方もあります。こちらは時間が経てば経つほど治るや改善するという意味です。