〇〇's mother will pick my kid up today instead of me.
〇〇's mother will pick my kid up for me today.
pick up 日本語でもいうように「ピックアップする」＝「迎えに来る」と言えます。
〇〇's mother will pick my kid up today instead of me.
〇〇のお母さんが私の代わりに私の子どもを今日ピックアップします。
〇〇's mother will pick my kid up for me today.
〇〇のお母さんが（私のために）私の子どもを今日ピックアップしてくれます。
アメリカでは「●●のお母さん」というより、個別にちゃんと名前を言うことが多いように思います。〇〇's mother, ××（お母さんの名前）will pick ++（自分の子の名前）〜
I made arrangements for 〇〇's mother to pick up XX today.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI asked 〇〇's mom to pick up XX today.
「今日は、〇〇くんのママにXXのお迎えを頼んであります」
ーI made arrangements for 〇〇's mother to pick up XX today.
「今日は〇〇くんのママがXXのお迎えをするよう手はずを整えてあります」
ご参考まで！
日本 
カナダ 
